Synthèse
L’espace W permet d’obtenir une formule pour dénombrer les nombres premiers entre 0 et un entier positif quelconque N. Pour obtenir cette formule, il est nécessaire de résoudre une équation diophantienne générique du premier ordre à 2 inconnus.
Chapitre II - Démonstration de la formule du dénombrement des nombres premiers : Formule FGW (François et Geneviève Wolf)
4- Formule FGW pour le dénombrement des NIP
4.3- Formule FGW pour le dénombrement des NINP et des NIP
Le nombre de calcul augmente rapidement avec j, mais la plupart de ces calculs sont inutiles. Voir ci-après.

L'ensemble de ces sommes peut se traduire par la formule suivante :
La formule suivante donne le nombre de NINP.
On ajoute 1 car il s'agit d'ajouter le nombre impair que l'on a enlevé dans l'espace W. On a enlevé le nombre
1 !
Paramètres de la formule:

C                                                             Il s'agit de l'ensemble des combinaisons

N : valeur pour laquelle on souhaite connaître le nombre de NIP.
kmax: valeur de N dans l'espace W
jmax: valeur maximum pour laquelle on fera les calculs (correspond à la racine carrée de N dans l'espace W)
Tab[1..r][0..i]: il s'agit des valeurs de j pour lesquelles on doit calculer Cpw(), c'est à dire le premier point k pour lequel toutes les valeurs de j qui se trouvent dans le tableau Tab[] donne un k identique.

r: correspond à l'indice maximum dans le tableau.

Définition des 3 fonctions de la formule   

a- fgw(kmax,j,Tab[1..r][0..i],Tab[r][i]) =

si fgw(kmax,j,Tab[1..r][0..i],Tab[r][i]) est négatif alors on soustrait 1
sinon on ajoute 1. C'est un problème d'intervalle. 
       

avec Tab[r][i] qui correspond à la plus petite valeur de la suite du tableau Tab[r][*]. Il s'agit en fait de la dernière valeur de la suite du tableau Tab[r][dernière valeur].

Si                                                                                                               alors Amw(...)=0. En effet, si on dépasse la valeur kmax, cela signifie que l'on n'a pas de points à prendre en compte.
Cela permet de limiter les sommes à prendre en compte. En effet, la fonction Cpw(...) croît avec le nombre de suites arithmétiques passé en paramètre, mais aussi avec la valeur j des suites arithmétiques.
Donc, dès que Cpw(..) dépasse la valeur kmax, alors la fonction Cpw(...) continuera à être supérieur à kmax pour les sommes suivantes. Il ne sera donc plus utile de calculer ces sommes dans la suite du calcul.
Ce terme donne le nombre de points identiques entre plusieurs suites arithmétiques  qui sont donnés dans le tableau Tab[1..r][0..i].

Attention: Lorsqu'on est sur le premier terme alors on a une fonction particulière :

b- fgwp(kmax,j,[],p) =   

si fgwp(kmax,j,[],p) est négatif alors on soustrait 1
sinon on ajoute 1. C'est un problème d'intervalle.

Ce terme donne le nombre de points identiques entre les suites arithmétiques  j et p. Ces points sont à enlever d’où le signe négatif.

c- Nb(j,kmax) =   

On ajoute 1 du fait du problème d'intervalle.
Ce terme donne le nombre de points générés par la suite arithmétique j entre 0 et kmax.

Remarque: le nombre de sommes n'est pas un problème car elles seront en fait très réduites.
En effet, si (kmax-Cpw())<=0 alors on arrête la suite des sommes. Du fait que Cpw croît comme un factoriel n, alors Cpw() va rapidement dépasser kmax. Il y aura donc très peu de sommes à calculer.

Pour avoir la formule finale, c'est à dire avoir le nombre de NIP, il faut pour un nombre N donné enlever les nombres pairs, enlever les NINP et ajouter 1 qui correspond au seul nombre premier pair 2. 

FGW(N)= N - nombre de nombre pair + le nombre pair premier 2 - le nombre de NINP
5- Conclusion
Nous avons déterminé une formule nous permettant de connaître de manière exacte et pas approximative les NINP entre 0 et un nombre N qui appartient à l'ensemble des entiers naturels N.

Caractéristiques de la formule FGW(N) :

1- Si nous connaissons les nombres premier entre 0 et la racine carrée de N, alors on pourra calculer le nombre de NIP entre 0 et N plus rapidement.
La formule détermine ces nombres si nécessaire.

2- La connaissance des nombres premiers entre 0 et  la racine carrée de N n'est pas obligatoire. On pourrait obtenir une formule sans qu'il soit nécessaire de les connaître. Cependant, la formule serait plus compliquée.
Le temps de calcul pourrait être plus rapide, mais ce n'est pas certain.

3- Cette formule ne présente aucune optimisation pour la rapidité des calculs. Elle est générique et ne sert qu'à montrer qu'il existe une formule exacte pour obtenir le nombre de NIP.

En effet, il serait souhaitable de connaître par avance les nombres premier entre 0 et  la racine carrée de N. Car, déterminer si un nombre est premier requière beaucoup de temps de calcul. Ce temps n'est pas linéaire quand le nombre N augmente. Cependant, il existe des tests de primalité qui permettrait de rendre utilisable cette formule avec des temps acceptables même pour des grands nombres tels que 10^100.

Dans le chapitre III, nous déterminerons une formule qui reliera un sous ensemble de nombres premiers à l'aide de la formule:
Fmgw(n) =
Il s'agira de déterminer tous les n pour lesquels la formule ne donne pas de nombre premier. Par différence, on aura tous les n pour lesquels la formule donne des nombres premiers NIP.