Synthèse
L’espace W permet d’obtenir une formule pour dénombrer les nombres premiers entre 0 et un entier positif quelconque N. Pour obtenir cette formule, il est nécessaire de résoudre une équation diophantienne générique du premier ordre à 2 inconnus.
Chapitre II - Démonstration de la formule du dénombrement des nombres premiers : Formule FGW (François et Geneviève Wolf)
3- Impact du décalage - Détermination et utilisation d'une équation Diophantienne
Si nous souhaitons trouver des points identiques entre k=3.n et k=1+5.n, comment faut-il s'y prendre ?
Sans le décalage, il suffirait de faire 3 multiplié par 5 = 15. Cela signifierait que tous les 15 points on aurait une valeur identique pour les 2 suites. k serait le même.
Mais avec le décalage, il faut trouver une solution à ce type d'équation:
(1a)
n1 et n2 sont les inconnus à déterminer. n1>1 et n2>1.

On a vu que pour chaque valeur de j, nous avons une formule générique qui relient tous les points : k= j + (2.j + 3).n
Donc si l'on veut qu'entre 2 valeurs de j, on ait la même valeur k, par exemple entre j1 et j2, il faut que l'égalité suivante soit respectée:
j1 + (2.j1 + 3).n1 = j2 + (2.j2 + 3).n2
si j1=j et j2=j+x, on retrouve l'équation 1a.

Il faut donc résoudre une
équation diophantienne, avec 2 inconnus du premier ordre.

Cela va nous permettre de trouver le premier point identique entre les 2 suites j1 et j2.
Dès que les valeurs n1 et n2 sont trouvées, alors les points suivants identiques entre les 2 valeurs de j respecteront une distance qui correspondra à la multiplication de la raison de chacune des 2 suites arithmétiques, donc:
(2.j1 + 3).(2.j2 + 3)

Solution:
Nous avons l'équation suivante à résoudre pour avoir le premier point identique entre j1 et j2 pour n>1 avec j2>j1 :

k =                                     =
Hypothèse 1
Considérons que n1=n2+1 et que j2=j1+1
Pourquoi ?
 
On remarque qu'entre 2 séries arithmétiques qui se suivent, le premier point est lié à la valeur initiale de la série j1.
En effet, prenons par exemple la série j1=1 et la série j2=2 et donc  j2-j1=1.
si n1=3 alors   
si n2=2 alors   
D'où
n1=j2+1 et n2=j1+1
On retrouve ce résultat quel que soit j1 et j2 avec j2-j1=1.
D'où   

Donc la solution globale est pour trouver tous les points k identiques :
on obtient donc:

k1=                                        =   

k2=                                        =   

avec k1=k2 quel que soit n>0

Hypothèse 2:
Considérons que
n1=n2+x et que j2=j1+x

donc                          et                           et   

j1 + (2.j1 + 3).(n2+x) = (j1+x) + (2.(j1+x) + 3).n2
D'où   

D'où la solution pour n2 = j1+1 quel que soit j2>j1
pour n1= j1+1+x

Donc l'ensemble des valeurs pour n1 sont :
n1 = (j1+1+x)+(2.(j1+x)+3).n = (j2+1)+(2.j2+3).n
pour n2:
n2= (j+1) + (2.j1+3).n
On obtient ainsi toutes les valeurs de k pour lesquelles les points j1 et j2 sont égaux.
D'où k= j1 + (2.j1 + 3).n1 =  j1 + (2.j1 + 3).((j1+x+1)+(2.(j1+x)+3).n)
        k= (j1+x) + (2.(j1+x) + 3).n2 =  (j1+x) + (2.(j1+x) + 3).((j+1) + (2.j1+3).n)
(2.j1+3).n est un facteur qui nous permet d'avoir tous les autres points identiques.

Généralisation de la solution.
Si on désire avoir des valeurs identiques entre plusieurs valeurs de j, quelle est alors la solution ?
Prenons une valeur j. On souhaite connaître toutes les valeurs de k = j+(2.j+3).n, pour lesquelles k possède une valeur identique à j2, j3,...jr
Donc on doit avoir :
k = j+(2.j+3).n = j1+(2.j1+3).n1 =  j2+(2.j2+3).n2 =  j3+(2.j3+3).n3 = ..........  jr+(2.jr+3).nr

La solution sera toujours n = j+1
La démonstration se fait par récurrence. On a fait la démonstration pour 2 valeurs j1 et j2. Avec 3 valeurs, on aurait le même résultat, et ainsi de suite...
Formule pour avoir la valeur k identique entre 2 valeurs de j :    j et (j + x)
(donc entre 2 suites arithmétiques)
Formule pour avoir la valeur k identique entre 3 valeurs de j :    j ,   ( j + x ),  ( j + x + y )
Formule pour avoir la valeur k identique entre 3 valeurs de j :    j ,   ( j + x ),  ( j + x + y ) 
Formule pour avoir la valeur k identique entre 4 valeurs de j :    j ,   ( j + x ),  ( j + x + y ),  ( j + x + y + z )
Formule pour avoir la valeur k identique entre 5 valeurs de j :    j ,  ( j + x ),  ( j + x + y ),  ( j + x + y + z ) et ( j + x + y + z + w)
...etc

Ces formules nous donnent le premier point identique entre les différentes suites j étudiées.
La formule qui exécutera ce code s'appellera :
Cpw(kmax , jmax , ListeDesValeursJ, valeur j la plus petite)
avec j1 < j2 < j3<........<jn et jmax=jn et j1=valeur la plus petite.

Cpw(kmax, jn, [j2, j3,...,],j1) =
(voir l'algorithme de cette formule ci-dessous)

Le graphique ci-dessous nous montre des exemples de points pour lesquels k est le même entre des suites arithmétiques j pour n>1.
Ci-dessous se trouve l’algorithme pour rechercher une valeur k identique entre différents points de différentes suites arithmétiques qui sont fournies en paramètres de la fonction.
Premier point k identique entre les séries j=0 (raison = 2.j+3=3) et j=1 (raison = 2.j+3=5)
       Cpw(50,1,[],0)     =
6

Premier point k identique entre les séries j=1 (raison = 2.j+3=5) et j=2 (raison = 2.j+3=7)
       Cpw(50,2,[],1)     = 16

Premier point k identique entre les séries j=0 (raison = 2.j+3=3), j=1 (raison = 2.j+3=5) et j=2 (raison = 2.j+3=7)
       Cpw(500,2,[1],0) = 51