Chapitre I - Explication de l'origine de l'énigme des nombres premiers
4.5- Relier des points entre eux est possible à l'aide de relations simples   ... suite
- Nous avons également des points avec des valeurs identiques entre les suites arithmétiques.

Si nous souhaitons trouver des points identiques entre k=3n . et k=1+5n , comment faut-il s'y prendre ?

Sans le décalage, il suffirait de faire 3 multiplié par 5 = 15. Cela signifierait que tous les 15 points on aurait une valeur identique pour les 2 suites. k serait le même.
Autrement dit, il suffirait de multiplier la raison de chaque suite arithmétique pour obtenir la fréquence pour laquelle on obtiendrait des valeurs identiques entre ces suites.

Mais avec le décalage, il faut appliquer une formule qui sera détaillé dans le chapitre II. Il faut résoudre une équation diophantienne générique à 2 inconnus.

Le graphique ci-dessous montre des points de différentes suites qui possèdent des valeurs k identiques ( k=j+(2.j+3).n ). Il est important de les connaître et de les relier par une formule. En effet, cette formule sera utilisée pour dénombrer les nombres premiers (Voir Chapitre II).
A quoi peuvent bien servir toutes ces relations ?
- A trouver des formules reliant tous les points NINP (Voir chapitre suivant)
- A Trouver des nombres premiers plus facilement en ayant le moins de calcul possible. Voir paragraphe 4.6
- A expliquer pourquoi le nombre de nombres premiers jumeaux est infini.
...etc.
4.6- Point particulier GW(j)-1 (générateur de nombres premiers)
Le point GW(j)-1 possède 2 particularités :
-Il n’aura jamais de nombre premier jumeau car il est entouré de deux points non premier dont les valeurs sont : GW(j) et GW(j-1)+2.(2.(j-1)+3)
-Il est premier avec une fréquence bien supérieure à n’importe quel autre point (Voir Chapitre IV).

La formule dans l'espace W est la suivante :   

Dans l’espace N, la formule devient :   

D’où  avec j>=-1

avec j>0 :
Fgwm1(j) = 4.(j-1)^2 + 20.j + 3

avec
n>0 et n=j+1, on obtient la formule suivante :
Fgwm1(n) = 4.n.(n+1) - 1

Les nombres impairs générés avec cette formule ne sont divisibles ni par 3 ni par 5.
Pourquoi ?
Ils ne sont pas divisibles par 3 du fait de leur position dans l'espace W.
Ils ne sont pas divisibles par 5 non plus. L'explication est la suivante:
Examinons la formule Fgwm1(j) :
- un nombre au carré tel que j^2 ne se termine que par les valeurs suivantes : [0,1,4,5,6,9]
- 5.(j+1) génère un nombre qui se finit par les valeurs 0 ou 5
Donc la somme des 2 nombres précédents ne pourra se finir que par les valeurs suivantes: [0,1,4,5,6,9]
Enfin, si on multiplie par 2 la somme générée, on obtiendra un nombre qui ne pourra se finir que par les valeurs suivantes: [0,2,8]

Dans l'espace N, il faut encore multiplier par 2 et ajouter 3 car N=2.k+3
On aura ainsi des valeurs qui ne se finiront que par les chiffres suivants : [3,7,9]
La valeur ainsi générée ne sera donc jamais divisible par 5.
Le graphique ci-dessous montre la régularité des suites arithmétiques obtenus pour chaque nombre premier généré par la formule. De plus, on observe des intervalles de valeur dans lesquelles on observe aucun diviseur.
La formule Fgwm1(j) génère des nombres premiers ou composés. Ces nombres composés ne seront jamais divisibles par un ensemble de nombres premiers qui reste à définir. Par exemple, ces nombres ne seront jamais divisibles par les valeurs suivantes: 3,5,11,13,19,29...etc. On observe sur le graphique ci-dessus des intervalles de valeurs de j qui sont dépourvus de diviseurs.

Le graphique ci-dessous montre que le nombre de diviseur augmente avec la valeur j, mais elle augmente faiblement. En effet, on ne dépasse pas 5 diviseurs pour des valeurs de j allant jusqu'à 15087, ce qui correspond à une valeur égale à Fgwm1(15087)=910651327. On obtient donc 6 diviseurs à partir de j=15089 jusqu'à plus de 100000 (On n'a pas dépassé j=100000, car les temps de calculs sont très long).
Synthèse
L’espace W permet de séparer les nombres impairs non premiers (NINP) des nombres impairs premiers (NIP). Les NINP sont constitués d’un ensemble de suites arithmétiques qui permet d’obtenir des formules telles que le dénombrement de ces nombres, le calcul de NIP. Cela passe par la résolution d’équations diophantiennes. La densité des NIP est également expliquée.